物理學測指考考題詳解－阿甘

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個人分類：物理學測指考考題詳解

光線自折射率為5/4的透明液體射向折射率為1的空氣，下列坐標圖中，哪些為可能的光徑？（各圖中的箭頭實線為光徑，圓圈虛線為參考圓僅用以輔助判讀）

答案：CD
層次：理解
難度：易
章節：幾何光學
詳解：
光由折射率大的介質進到折射率小的介質，若入射角小於臨界角，會有部分反射、部分折射，且折射光偏離法線；若入射角大於臨界角，則會發生全反射。本題的臨界角

因此答案為CD。

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甲、乙兩物體有相同的質量，且體積可忽略，乙靜置於水平面上，而甲以長度為 $L$ 、質量可忽略的細繩繫於乙上方的一點，並在與鉛直方向成 $37^{\circ}$ 處自靜止被釋放後，在最低點與乙發生正向彈性碰撞，如圖10所示。已知碰撞時間極短，且碰撞後甲靜止不動，而乙在桌面上往左滑行了距離 $L$ 後停下來。令乙跟水平面之間的動摩擦係數為 $μ_{k}$ ，則 $μ_{k}$ 的值為何？（已知 $\sin 37^{\circ} \approx 0.6$ ）
(A) 0.1　　　(B) 0.2　　　(C) 0.3　　　(D) 0.4　　　(E) 0.5

圖10

答案：B
層次：應用
難度：中
章節：能量、碰撞
詳解：
若定義水平面高度的重力位能為0，由甲落下的過程力學能守恆可得

由於甲、乙質量相同，發生一維彈性碰撞後速度交換，乙以速度 $v$ 於水平面上滑動。乙受到桌面給的動摩擦力 $f_{k} = μ_{k} N = μ_{k} m g$ 作負功，使乙滑行距離 $L$ 後停下，由功能定理可得

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一條長為 $R$ 的繩子綁住一個石塊，讓石塊一開始在鉛直面上作圓周運動，石塊的位置可由石塊 - 圓心連線和水平線夾角 $θ$ 表示，如圖9所示。若石塊在最低處的速率改為 $\sqrt{7 R g / 2}$ ， $g$ 為重力加速度，則石塊轉到何處時會脫離圖9所示之圓形虛線軌跡？（已知 $\sin 37^{\circ} \approx 0.6$ ）
(A) $θ = 30^{\circ}$ 　　　(B) $θ = 37^{\circ}$ 　　　(C) $θ = 45^{\circ}$ 　　　(D) $θ = 53^{\circ}$ 　　　(E) $θ = 60^{\circ}$

圖9

答案：A
層次：應用
難度：中
章節：牛運動定律的應用、能量
詳解：
此時繩子沒有拉緊、張力為0，用重力往圓心的分力作為向心力，因此

若定義圓心高度的重力位能為0，由石塊位於此處及最低點力學能守恆可得

將 $v^{2} = g R \sin θ$ 代入上式

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同學們玩飛鏢遊戲，某生持一飛鏢水平瞄準靶心X點，將飛鏢在距離X點 2 m 處，以 20 m/s 速率水平射出，如圖8所示。若飛鏢被射出後擊中Y點，則XY之間的距離為何？（假設飛鏢可視為質點、空氣阻力可略，取重力加速度為 10 m/s²）
(A) 0.5 m　　　(B) 0.2 m　　　(C) 0.1 m　　　(D) 0.05 m　　　(E) 0.02 m

圖8

答案：D
層次：應用
難度：易
章節：平面運動
詳解：
由水平方向運動求飛行時間
$t = 2/20= 0.1 s$
鉛直位移
$y = 1/2 \times a t^{2} = 1/2\times 10 \times 0.1 2 = 0.05 m$

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質量為 1 kg 的物體靜置於地面上，今施鉛直向上力 $F$ 於此物體。 $F$ 隨時間變化的關係如圖7所示。則在 $t = 0 \sim 10$ 秒間，此力作用在物體上的平均功率為下列何者？（取重力加速度為 10 m/s²，且忽略空氣阻力）
(A) 162 W　　　(B) 144 W　　　(C) 94.5 W　　　(D) 32.4 W　　　(E) 28.8 W

圖7

答案：E
層次：應用
難度：難
章節：能量
詳解：

由於物體同時受到向下的重力 $m g$ 、向上的拉力 $F$ 、向上的正向力 $N$ ，當 $F < m g$ 時物體仍為靜止，因此只要計算 $F > m g$ 時，也就是 $t = 8 \sim 10$ 秒間合力對物體產生向上的加速度

物體向上的位移量值

$F$ 對物體作功
$W_{F} = F s = 18 \times 16 = 288 J$
$F$ 對物體作功平均功率

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老師以彈珠遊戲做示範教學，將半徑相同的彈珠都放置在一水平直線軌道中，由左到右質量分別為 $M$ 、 $2 M$ 、 $2 M$ 、 $4 M$ ，如圖6所示。一開始時所有的彈珠皆處於靜止狀態，老師將左邊數來第三顆質量為 $2 M$ 的彈珠，以 1.5 m/s 的速度水平射向右邊質量為 $4 M$ 的彈珠，造成一系列的碰撞。若所有碰撞皆為彈性碰撞，且摩擦力均可忽略不計，則下列敘述何者正確？
(A) 所有彈珠總共發生四次彈性碰撞
(B) 在經過多次碰撞後，最後左邊數來的第三顆彈珠向右運動
(C) 在經過多次碰撞後，質量為 $2 M$ 的兩顆彈珠，最後都向左運動
(D) 在經過多次碰撞後，質量為 $M$ 與 $4 M$ 的彈珠，最後運動的方向相反
(E) 在經過多次碰撞後，質量為 $M$ 的彈珠，最後的運動速率是所有彈珠中最慢的

圖6

答案：D
層次：應用
難度：難
章節：碰撞
詳解：

A錯，共發生3次碰撞。
B錯，左邊數來的第三顆彈珠靜止。
C錯，左邊數來的第二顆彈珠向左運動，第三顆彈珠靜止。
D對，質量為 $M$ 的彈珠速度為 $4 / 3$ m/s 向左運動，質量為 $M$ 的彈珠速度為 1.0 m/s 向右運動。
E錯，左邊數來的第三顆彈珠靜止，速率最慢。

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某生進行光電效應實驗，使用的正極板與負極板表面均為金屬鈉，其功函數為 2.3 eV，而電源提供的電位差為 3.0 V。通常在光電效應實驗中是將光照射在正極板上，但某生在實驗中卻將波長 400 nm 的光照射在負極板上，則光電子到達正極板時的最大動能約為何？（取普朗克常數 $h = 6.63 \times 10^{- 34} J \cdot s$ ，基本電荷 $e = 1.6 \times 10^{- 19} C$ ，光速 $c = 3.0 \times 10^{8} m / s$ ）
(A) 5.4 eV　　　(B) 3.8 eV　　　(C) 3.1 eV　　　(D) 2.3 eV　　　(E) 0.8 eV

答案：B
層次：應用
難度：中
章節：近代物理
詳解：
光子能量

或是用

光電方程式
$E = W + K m a x \Rightarrow K_{m a x} = 3.1 - 2.3 = 0.8 e V$
再加上光電子由負極板到正極板的過程中受到電壓加速度效果，光電子的最大動能增加為
$K_{m a x}^{'} = 0.8 + 3.0 = 3.8 e V$

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波長為 640 nm 的平行光束垂直照射寬度為 0.060 mm 的單狹縫，再正向投射在距離單狹縫 1.0 m 的屏幕上，並在屏幕出現亮暗相間的條紋。若單狹縫寬度方向的兩邊緣至屏幕上P點處的光程差恰為三個波長，則P點至屏幕中央亮帶的中心線之距離為多少 cm？
(A) 0.36　　　(B) 6.0　　　(C) 3.2　　　(D) 6.4　　　(E) 64

答案：C
層次：應用
難度：中
章節：物理光學
詳解：
雙狹縫干涉條紋寬度

因為P點處的光程差恰為三個波長，所以此處為第3亮紋中心，P點至屏幕中央亮帶的中心線之距離為
$y_{3} = 3 Δ y = 3.2 c m$

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考慮如圖5的線路，右邊是質量為 $m$ 而長度為 $l$ 的金屬棒，可以在導線上滑動形成導通的迴路，且滑動時摩擦力可忽略不計。將整個迴路放置於量值為 $B$ 、方向為射入紙面（以X表示）的均勻磁場中，除了電阻 $R$ 外，假設此迴路其餘部分的電阻皆可忽略。如果金屬棒有一初速 $v$ ，則經過一段特定時間 $t = 0.69 τ$ 之後，金屬棒的速率就會減半成 $v / 2$ ，而且 $τ$ 大致上與初速無關。其原理是因為電磁感應：金屬棒的運動造成迴路的磁通量改變，產生應電流，而此電流讓運動中的金屬棒，在磁場中受到一反向的磁力，因此會減速，且應電流在電阻 $R$ 上會產生功率消耗。 $τ$ 可由時間的因次求得，下列何者為 $τ$ 的表示式？
(A) $\frac{m R}{l^{2} B^{2}}$ 　　　(B) $\frac{m^{2} R}{l B^{2}}$ 　　　(C) $\frac{m B}{l R^{2}}$ 　　　(D) $\frac{m B^{2}}{l^{2} R}$ 　　　(E) $\frac{l^{2} B^{2}}{m R^{2}}$

圖5

答案：A
層次：應用
難度：難
章節：電磁感應、電流
詳解：

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11 - 12題為題組

火鍋店通常使用電磁爐加熱火鍋及其內的湯及食材。現有一平底火鍋置於電磁爐上，其鍋底和鍋壁均由耐高溫絕緣材料製成，但鍋底安置了如圖4所示之5圈同心導電圓環。當電磁爐接通交流電源後，會產生垂直於鍋底方向、隨時間變化的磁場，並且在同心導電圓環上產生應電流。平底火鍋的導電圓環所用材料之單位長度的電阻 $R_{0} = 0.5 Ω / m$ ，從中心向外數第n個同心導電圓環的半徑 $r_{n} = (2 n - 1) r_{1} (n = 1 \sim 5)$ ，其中 $r_{1} = 1.0 c m$ 。若已知該磁場時變率為
$\frac{Δ B}{Δ t} = 100 sin ω t V / m^{2}$
$ω$ 為交流電源的角頻率， $t$ 為時間，回答下列問題。

圖4

第n圈導電圓環產生熱量的功率 $P_{n}$ 與半徑 $r_{n}$ 的關係為 $P_{n} \propto r_{n}^{a}$ ，則 $a$ 為何？
(A) 1　　　(B) 3/2　　　(C) 2　　　(D) 5/2　　　(E) 3

答案：E
層次：應用
難度：難
章節：電磁感應、電流
詳解：

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11 - 12題為題組

火鍋店通常使用電磁爐加熱火鍋及其內的湯及食材。現有一平底火鍋置於電磁爐上，其鍋底和鍋壁均由耐高溫絕緣材料製成，但鍋底安置了如圖4所示之5圈同心導電圓環。當電磁爐接通交流電源後，會產生垂直於鍋底方向、隨時間變化的磁場，並且在同心導電圓環上產生應電流。平底火鍋的導電圓環所用材料之單位長度的電阻 $R_{0} = 0.5 Ω / m$ ，從中心向外數第n個同心導電圓環的半徑 $r_{n} = (2 n - 1) r_{1} (n = 1 \sim 5)$ ，其中 $r_{1} = 1.0 c m$ 。若已知該磁場時變率為
$\frac{Δ B}{Δ t} = 100 sin ω t V / m^{2}$
$ω$ 為交流電源的角頻率， $t$ 為時間，回答下列問題。

圖4

半徑為 $r_{4}$ 的導電圓環中應電流的最大值是多少A？
(A) 7　　　(B) 6　　　(C) 5　　　(D) 3　　　(E) 1

答案：A
層次：應用
難度：難
章節：電磁感應、電流
詳解：

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師講解惠司同電橋測量未知電阻的實驗，在黑板繪出電路圖，如圖3所示，其中G為檢流計， $R_{1}$ 及 $R_{2}$ 為已知的固定電阻， $R_{x}$ 為待測電阻。同學操作實驗時，選擇適當的電阻 $R_{3}$ ，使電橋平衡，並得到檢流計顯示為0的讀值，且能獲得正確待測電阻值： $R_{x} = R_{3} (R_{2} / R_{1})$ 。另一位同學操作實驗時，原來電阻 $R_{1}$ 、 $R_{2}$ 、 $R_{3}$ 及 $R_{x}$ 都不變，僅將電路中檢流計和電池的位置互換，引起同組同學討論，同學所提出的下列意見何者正確？
(A) 若互換 $R_{1}$ 及 $R_{2}$ 位置，可保持檢流計顯示為0的讀值
(B) 若互換 $R_{1}$ 及 $R_{3}$ 位置，可保持檢流計顯示為0的讀值
(C) 若互換 $R_{x}$ 及 $R_{3}$ 位置，可保持檢流計顯示為0的讀值
(D) 雖然檢流計和電池的位置互換，仍可使電橋平衡，且能獲得待測電阻值為 $R_{x} = R_{3} (R_{2} / R_{1})$
(E) 將電阻 $R_{x}$ 及 $R_{3}$ 互換，同時也將 $R_{1}$ 及 $R_{2}$ 互換，無法使電橋平衡，所以不能獲得待測電阻值

圖3

答案：D
層次：應用
難度：難
章節：電流
詳解：

故答案為D。

圖4

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材質與半徑完全相同的兩金屬球分別帶有電量 $Q$ 及 $\frac{Q}{2}$ ，兩球間的距離遠大於其半徑，且兩球間的靜電作用力為 $F$ 。今將兩球接觸後再將它們放回原來位置，假設過程中兩球上的總電荷守恆，則兩球間的靜電作用力變為若干？
(A) $\frac{3}{2} F$
(B) $\frac{9}{8} F$
(C) $\frac{5}{4} F$
(D) $\frac{3}{4} F$
(E) $\frac{7}{8} F$

答案：B
層次：應用
難度：易
章節：靜電學
詳解：
庫侖定律
$F_{E} = k Q q R^{2} \propto Q q$

兩球接觸後電量皆為 $Q^{'} = \frac{3}{4} Q$ ，因此兩球間的靜電力為
$F^{'} = (\frac{3}{4}) 2 \times 2 F = 98 F$

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如圖2所示，令此時 $t = 0$ ，繩上的三角形脈衝波以波速 $v$ 向 $+ x$ 傳播，當脈衝波通過繩上P點時，若P點之速度為 $u$ ，且以向上的方向為正，則速度 $u$ 與時間 $t$ 的關係示意圖最接近下列何者？

答案：D
層次：理解
難度：易
章節：波動
詳解：
當波峰前的部分碰到P點時速度為正且為定值，當波峰後的部分碰到P點時速度為負且為定值，故答案為D。

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若低空運行的人造衛星，其軌道半徑可視為地球半徑，則該人造衛星的週期最接近下列何者？（取地球半徑 $R = 6.4 \times 10^{3} k m$ 、重力加速度 $g = 10 m / s^{2}$ ）
(A) 60 s　　　(B) 84 s　　　(C) 6 min　　　(D) 60 min　　　(E) 84 min

答案：E
層次：應用
難度：中
章節：重力
詳解：

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某生質量 $50.0 k g$ ，從一個 $10.0 m$ 長的滑梯斜面滑下，此斜面頂端與底部之間的垂直高度差為 $6.0 m$ 。若該生下滑時所受的動摩擦力保持不變，且溜滑梯斜面與該生間之動摩擦係數為0.25，則該生沿斜面下滑的加速度量值為多少？（取重力加速度為 $10 m / s^{2}$ ）
(A) $1.0 m / s^{2}$ 　　　(B) $2.0 m / s^{2}$ 　　　(C) $4.0 m / s^{2}$ 　　　(D) $6.0 m / s^{2}$ 　　　(E) $8.0 m / s^{2}$

答案：C
層次：應用
難度：中
章節：牛頓運動定律
詳解：

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一力常數為 $1.00 N / m$ 的彈簧，一端固定在牆上，另一端連結質量為 $1.00 k g$ 的質點，且質點在光滑水平面上作一維簡諧運動，以 $x$ 代表質點偏離平衡點（彈簧自然長度）的位移， $x > 0$ 表示彈簧被拉長， $x < 0$ 表示彈簧被壓縮。在時間 $t = 0 s$ 時，質點朝彈簧伸長的方向運動速率不為零，且位移 $x = 0.02 m$ 。若運動過程中力學能守恆，則時間 $t = π s$ 時，下列有關質點運動的敘述何者正確？
(A) 朝彈簧壓縮的方向運動，且 $x = - 0.02 m$
(B) 朝彈簧壓縮的方向運動，且 $x = 0.02 m$
(C) 質點回到平衡點，且開始被壓縮
(D) 質點回到平衡點，且開始被拉長
(E) 質點動量和時間 $t = 0 s$ 時的動量一樣

答案：A
層次：應用
難度：中
章節：牛頓運動定律的應用
詳解：
質點做簡諧運動的週期 $T$ 、質量 $m$ 、彈性常數 $k$ 的關係為

若定義 $x = 0$ 處為原點、 $x > 0$ 方向向右，在時間 $t = 0 s$ 時，質點朝彈簧伸長的方向運動速率不為零，且位移 $x = 0.02 m$ ，代表此時質點在平衡點與右端點之間且向右移動。當時間 $t = π s$ 時，質點經過0.5個週期，位在平衡點與左端點之間且向左移動，故答案為A。

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有一紅光雷射發射波長為 $6.3 \times 10^{- 7} m$ 的雷射光，其輸出功率為 5.0 mW；另有一藍光雷射發射波長為 $4.5 \times 10^{- 7} m$ 的雷射光，其輸出功率為 15 mW。試問藍光雷射每秒發射的光子數目，約為紅光雷射的多少倍？
(A) 4.2　　　(B) 3　　　(C) 2.1　　　(D) 0.47　　　(E) 0.24

答案：C
層次：應用
難度：中
章節：近代物理
詳解：
光子能量 $E$ 、波長 $λ$ 、光速 $c$ 、普朗克常數 $h$ 的關係

每秒發射的光子數量 $N$ 與功率 $P$ 的關係

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鎝-99m（Tc-99m，m代表亞穩態同位素）是目前最廣泛使用的核醫藥物，可用於甲狀腺、副甲狀腺、骨骼、心肌、腦部等掃描檢查。鎝-99m可先由鈾核分裂獲得鉬-99（Mo-99），鉬-99再衰變成為鎝-99m，其過程為：
$_{42}^{99} M o \to 99 m 43 T c + X + ¯ ¯ ¯ ν$
（ $\bar{ν}$ 不帶電荷且質量非常小或近乎零的反微中子），如圖1所示，接著將鎝-99m取出，並由注射或口服等方法送入人體內，在特定器官或組織發生衰變，其過程為：
$_{43}^{99 m} T c \to 9943 T c + γ$
釋放出 $γ$ 射線作為檢測分析的訊號。下列有關此核醫藥物的敘述何者正確？
(A) $γ$ 射線為能量高於紫外線之電子
(B) $γ$ 射線為能量高於紫外線之中子
(C) 在鉬-99進行放射性衰變成鎝-99m時，X代表 $β$ 粒子
(D) 在鉬-99進行放射性衰變成鎝-99m時，X代表 $α$ 粒子
(E) 在鉬-99進行放射性衰變成鎝-99m時，X代表 $γ$ 粒子

圖1

答案：C
層次：知識
難度：易
章節：近代物理
詳解：
A、B錯誤， $γ$ 射線為能量高於紫外線的光子（電磁波）。
C正確，D、E錯誤，由反應式前後電荷守恆及質量數守恆可知X為電子，發生的是 $β$ 衰變。

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