物理學測指考考題詳解－阿甘

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地球繞太陽運動軌道的平均半徑定義為一個天文單位，某行星繞太陽之平均半徑約為10個天文單位，則該行星公轉的週期約為地球上的多少年？
(A) 1　　　(B) 5　　　(C) 15　　　(D) 32　　　(E) 100

答案：D
層次：應用
難度：易
章節：重力
詳解：
行星與太陽之間的重力當作行星繞太陽公轉需要的向心力

也可以直接用克卜勒第三行星運動定律列式，可以得到相同的結果。

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有一以O為圓心、 $L$ 為半徑的OMN扇形電路置於均勻磁場 $B$ 中如圖7所示，磁場垂直穿入紙面，半徑OM之間有電阻 $R$ ，電路中其他電阻可忽略不計。OM與MP弧固定不動，而長度為 $L$ 的ON以O為軸心作順時針往P方向旋轉，角速率為 $ω$ ，則電路中電流為下列何者？

圖7

答案：A
層次：應用
難度：中
章節：電磁感應
詳解：
假設經過一小段時間 $Δ t$ ，ON 旋轉繞過的面積

磁通量變化

應電動勢量值

應電流量值

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一個半徑為 $R$ 的圓形線圈通有順時針方向的電流 $I$ ，其圓心的磁場為 $B$ 。今在同一平面上加上一個同心的圓形線圈，若欲使其圓心處的磁場為零，則所加上圓形線圈的條件為下列何者？
(A) 半徑為 $2 R$ ，電流為 $\sqrt{2} I$ ，方向為順時針方向
(B) 半徑為 $\sqrt{2} R$ ，電流為 $2 I$ ，方向為順時針方向
(C) 半徑為 $2 R$ ，電流為 $2 I$ ，方向為順時針方向
(D) 半徑為 $2 R$ ，電流為 $2 I$ ，方向為逆時針方向
(E) 半徑為 $\sqrt{2} R$ ，電流為 $2 I$ ，方向為逆時針方向

答案：D
層次：應用
難度：易
章節：電流磁效應
詳解：
由安培右手定則可以判斷，順時針方向電流於圓心處產生的磁場為進入紙面方向，若要抵消這個磁場，需要加上逆時針方向電流，因此只剩下DE選項能選。由於載流線圈於圓心處產生的磁場

因此答案為D。

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考慮以P點為圓心、半徑為 $R$ 的部份或整個圓周上的四種電荷分佈情形，如圖6所示：(甲) 電荷 $q$ 均勻分佈在四分之一的圓周；(乙) 電荷 $2 q$ 均勻分佈在半圓周；(丙) 電荷 $3 q$ 均勻分佈在四分之三的圓周； (丁) 電荷 $4 q$ 均勻分佈在整個圓周。試問這四種情形在P點所造成的電場，依其量值大小排列的次序為何？
(A) 甲 > 乙 > 丙 > 丁
(B) 丁 > 丙 > 乙 > 甲
(C) 乙 > 甲 = 丙 > 丁
(D) 丁 > 乙 > 甲 = 丙
(E) 甲 = 乙 = 丙 = 丁

圖6

答案：C
層次：應用
難度：中
章節：靜電學
詳解：
若甲於圓心處產生的電場量值為 $E$ ，指向左下方，可以將乙拆成兩個帶電量皆為 $q$ 的四分之一圓周，兩段於圓心處產生的電場量值皆為 $E$ ，分別指向左下方及左上方，兩者相加後可得 $E_{乙} = \sqrt{2} E$ 指向左方；同理可得 $E_{丙} = E$ 指向左下， $E_{丁} = 0$ ；答案為乙 > 甲 = 丙 > 丁。

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由一對完全相同的強力理想彈簧所構成可垂直彈射之投射裝置，如圖5所示，設 $g$ 為重力加速度，彈簧的力常數為 $k$ 。若質量為 $m$ 的物體置於質量可忽略的彈射底盤上，欲將物體以 $5 g$ 的起始加速度垂直射向空中，此時兩彈簧與鉛垂線的夾角皆為 $θ = 60^{\circ}$ ，則每個彈簧的伸長量為下列何者？

圖5

答案：E
層次：應用
難度：中
章節：牛頓運動定律
詳解：
假設彈簧的回復力為 $F_{S}$ ，對物體列出 $F = m a$ 可得
$F_{S} cos 60 \circ \times 2 - m g = m \times 5 g \Rightarrow F_{S} = 6 m g$
由虎克定律可得彈簧伸長量

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已知火星的平均半徑約為地球的0.5倍，火星表面的重力加速度約為地球的0.4倍，則火星表面上的脫離速率（不計阻力下，使物體可脫離其重力場所需的最小初速率）約為地球上的多少倍？

答案：A
層次：應用
難度：中
章節：重力
詳解：
假設距離為無窮遠處的重力位能為0，由力學能守恆可得

由於星球表面的重力加速度

代入上式可得

因此

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9 - 10 為題組

如圖4所示，一質量為 $m$ 可視為質點的小球從離地 $H$ 處水平射出，第一次落地時的水平位移為 $\frac{4 H}{3}$ ，反彈高度為 $\frac{9 H}{16}$ 。若地板為光滑，且空氣阻力可以忽略，而小球與地板接觸的時間為 $t$ ，重力加速度為 $g$ 。

第一次落地碰撞期間，小球在鉛直方向所受到的平均作用力之量值為何？

答案：E
層次：應用
難度：中
章節：平面運動、牛頓運動定律
詳解：
由高度為 $H$ 處落下到地面的過程求撞擊地面前鉛直方向的速度 $v_{y}$
$v_{y}^{2} = 02 + 2 g H \Rightarrow v_{y} = 2 g H$
由地面反彈至高度為 $\frac{9 H}{16}$ 處的過程求撞擊地面後鉛直方向的速度 $v_{y}^{'}$

由撞擊地面過程小球的鉛直方向動量變化求平均力 $F$

小球第一次落地點到第二次落地點的水平距離為何？
(A) $H$ 　　　(B) $\frac{4 H}{3}$ 　　　(C) $\frac{3 H}{2}$ 　　　(D) $2 H$ 　　　(E) $\frac{8 H}{3}$

答案：D

詳解：
由高度為 $H$ 處落下到地面的過程求飛行時間 $t$

由高度為 $\frac{9 H}{16}$ 處落下到地面的過程求下降需要的時間 $t^{″}$

由於上升、下降過程對稱，第一、二次撞擊地面過程時間間隔

假設水平速度為 $v_{x}$ ，則水平射程

由以上2式相除可得

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一質點在一直線上運動，圖3為此質點所受的外力與位置的關係，質點的起始位置為 $x = 0$ ，起始速度沿著 $+ x$ 方向，則此質點在何處的速率最大？
(A) 甲　　　(B) 乙　　　(C) 丙　　　(D) 丁　　　(E) 戊

圖3

答案：D
層次：應用
難度：中
章節：功與能量
詳解：
由圖中可知由甲到丁的過程中外力皆作正功，使質點動能增加、速率變快；由丁到戊的過程中外力作負功，使質點動能減少、速率變慢；因此質點於丁處的速率最大。

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某生使用波長為 $λ$ 的光源進行雙狹縫干涉實驗，若兩狹縫間的距離 $d = 9 λ$ ，則第5暗紋所在位置至雙狹縫中點之連線與中央線的夾角約為幾度？
(A) 30°　　　(B) 45°　　　(C) 53°　　　(D) 60°　　　(E) 75°

答案：A

詳解：
兩個狹縫到第5暗紋的光程差

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雷射光以一入射角 $θ$ 自空氣入射雙層薄膜再進入空氣，其中各層薄膜厚度皆為 $d$ 而折射率各為 $n_{1}$ 及 $n_{2}$ ，光路徑如圖2所示。今以折射率為 $n$ 且厚度為 $2 d$ 的薄膜取代原雙層薄膜，若光線射入與射出的位置、角度皆與圖2相同，則 $n_{1}$ 、 $n_{2}$ 與 $n$ 的大小關係為下列何者？
(A) $n > n_{1} > n_{2}$ 　　　(B) $n_{1} > n_{2} > n$ 　　　(C) $n > n_{2} > n_{1}$ 　　　(D) $n_{2} > n > n_{1}$ 　　　(E) $n_{1} > n > n_{2}$

圖2

答案：E
層次：應用
難度：中
章節：幾何光學
詳解：
若 $n_{1}$ 、 $n_{2}$ 、 $n$ 對應的折射角分別為 $α$ 、 $β$ 、 $γ$ ，由折射定律可得
$1 \times sin θ = n 1 sin α = n 2 sin β = n sin γ$
由於 $θ > β > γ > α$ ，因此 $n_{1} > n > n_{2} > 1$ 。

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密閉汽缸內定量理想氣體原來的壓力為2大氣壓，當汽缸的體積被活塞從 10 m³ 壓縮至 5 m³，同時把汽缸內氣體的溫度從 313°C 降溫至 20°C，則熱平衡後汽缸內氣體的壓力最接近下列何者？
(A) 8 atm　　　(B) 4 atm　　　(C) 2 atm　　　(D) 1 atm　　　(E) 0.25 atm

答案：C

詳解：
依據理想氣體方程式 $P V = n R T$ 可以對兩個狀態分別列式
$2 \times 10 = n R \times (313 + 273)$
$P \times 5 = n R \times (20 + 273)$
將以上2式相除可得=

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下列關於體積固定之密閉容器內理想氣體的性質敘述，何者正確？
(A) 壓力和分子平均動量的平方成正比
(B) 壓力和所有氣體分子之移動動能的和成正比
(C) 溫度升高時，每一個氣體分子的動能都會增加
(D) 溫度下降時，密閉容器內理想氣體的壓力升高
(E) 氣體分子和容器壁的碰撞是否為彈性碰撞，並不會影響壓力的量值

答案：B
層次：理解
難度：中
章節：熱學
詳解：
A錯，由於氣體分子往每個方向移動的機率相等，平均速度、平均動量為0。

B對，所有氣體分子之移動動能的和 $E = \frac{3}{2} N k T = \frac{3}{2} P V \propto P$ 。

C錯，由於不是每個氣體分子移動速率都變快，是方均根值會增加。

D錯， $P = \frac{N k T}{V} \propto T$ 。

E錯，若氣體分子和容器壁為彈性碰撞，且分子動量與容器壁垂直的分量為 $p_{x}$ ，則碰撞前後分子的動量變化量值為 $2 p_{x}$ ；若為非彈性碰撞，則動量變化小於 $2 p_{x}$ ，對容器壁產生的壓力較小。

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某樂器以開管空氣柱原理發聲，若其基音頻率為 390 Hz，則其對應的空氣柱長度約為幾公分？假設已知音速為 340 m/s。
(A) 44　　　(B) 58　　　(C) 66　　　(D) 80　　　(E) 88

答案：A
層次：應用
難度：中
章節：聲波
詳解：
空氣中的聲波長

開管空氣柱的兩端為波腹，因此空氣柱長度等於基音波長的 1/2 倍，因此

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一彈性繩上的小振幅週期波由左向右方傳播，某一瞬間其振動位移y與位置x的關係如圖1所示，繩上質點P恰在x軸上，則質點P在這一瞬間的運動方向最接近下列何者？
(A) ↑(向上)　　　(B) ↓(向下)　　　(C) ←(向左)　　　(D) →(向右)　　　(E) 沒有確定的方向，因其速度為零

圖1

答案：A
層次：理解
難度：易
章節：波動
詳解：
將整個波形向右平移，可以看到P點會向上移動。

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下列的現象或應用，何者的主因是波的繞射性質造成的？
(A) 琴弦振動產生駐波
(B) 波浪進入淺水區波速變慢
(C) 以X射線拍攝胸腔照片
(D) 以X射線觀察晶體結構
(E) 陰極射線實驗中螢幕的亮點位置會隨外加磁場改變

答案：D
層次：知識
難度：易
章節：波動
詳解：
A錯，這是由波的疊加造成的。
B錯，這是由波的折射造成的。
C錯，這是因為X射線可以穿過皮膚及肌肉，無法穿過骨骼。
D對。
E錯，這是因為帶電粒子受到磁力作用，
${\vec{F}}_{B} = q \vec{v} \times \vec{B}$ 。

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2. 測量出帶電離子的荷質比，可進而分析離子的種類，其主要構造可分為離子源、具有均勻磁場B₁的分析器及偵測器。質譜儀測量過程如圖12所示：質量m、帶電荷q（q＞0）的離子，由離子源以速度垂直射入均勻磁場中（以·表示射出紙面方向），經過半個圓周後射入偵測器，離子源和偵測器的距離固定為L，只有特定質量的離子才能射入偵測器被偵測到。實驗時先讓離子經過平行金屬板間的區域，如圖12左下所示，該區域有橫向的均勻電場E（以®表示電場方向）及進入紙面的均勻磁場（以Î表示），目的為使垂直射入均勻磁場的離子皆有相同的速度。回答下列問題。

欲使垂直射入均勻磁場的離子皆有相同的速度，則平行金屬板間區域的電場E、磁場及離子速度有何關係？（2分）
計算可射入偵測器的離子的質量m為何？（以 , , , 表示）（4分）
由於實驗中離子速率有誤差，離子速率可表示為，因此測量到的離子質量會有誤差，質量可表示為，計算離子質量的誤差比率（）為何？（以和表示）（4分）

詳解

1.

2.

3.

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某生以兩同調點波源於水波槽觀測水波干涉現象，水波不易直接觀測，因此實驗時於水槽上方置一燈，將水波光影投射於水槽底下，以便觀測與記錄。實驗觀察獲得的水波干涉圖如圖11所示。

依據干涉圖（圖11）中所標示的線a、b、c、d、e、f、g，寫出哪些線是節線、哪些線是腹線，並說明如何由干涉圖中找出節線與腹線的方法。（4分）
若要理論驗證實驗干涉圖中節線的位置，必須測量哪些物理量？說明測量這些物理量的方法及驗證的原理。（4分）
如果兩同調點波源的振動頻率增為2倍，則相鄰兩節線間距將變為原來的多少倍？並說明原因。（2分）

詳解

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將重量 $W$ 的物體以水平外力 $F$ 壓在鉛直的牆面上，物體離地面有一段距離。若物體靜止不動，則下列敘述哪些正確？
(A) $W$ 與 $F$ 量值相等，才能達成靜力平衡
(B) 牆對物體的作用力，在水平方向是正向力，且與 $F$ 量值相等
(C) 牆對物體的作用力，在鉛直方向是摩擦力，且與 $F$ 量值相等
(D) 鉛直方向的摩擦力與 $W$ 量值相等，才能達成靜力平衡
(E) 當水平外力 $F$ 增大時，牆對物體的正向力增大，但摩擦力量值不變

答案：BDE
層次：理解
難度：易
章節：靜力學
詳解：
AC錯，BDE對。物體受到向下的重力 $W$ 、牆壁對物體向上的靜摩擦力 $f_{s}$ 、水平外力 $F$ 、牆壁對物體方向與 $F$ 相反的正向力 $N$ 。若物體維持靜力平衡，由水平方向合力為0可得 $N = F$ ，由鉛直方向合力為0可得 $f_{s} = W$ 。

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距離地球相當遙遠的甲、乙兩個星系因宇宙膨脹而以 $v_{甲}$ 和 $v_{乙}$ （ $v_{甲} > v_{乙}$ ）的速率遠離地球，若分別在兩星系上的氫原子之電子都由初始能階躍 $E_{n}$ 遷到 $E_{m}$ ，且 $E_{n} > E_{m}$ （ $n$ 、 $m$ 為主量子數），則下列敘述哪些正確？（ $h$ 為普朗克常數， $c$ 為真空中的光速）
(A) 甲星系與地球的距離大於乙星系與地球的距離
(B) 甲星系上的氫原子之電子由能階 $E_{n}$ 躍遷到 $E_{m}$ 時所釋放出的電磁波，在真空中以光速傳播
(C) 甲星系上的氫原子之電子躍遷所釋放之電磁波到達地球時，在地球上的觀測者所測得的頻率為 $(E_{n} - E_{m}) / h$
(D) 乙星系上的氫原子之電子躍遷所釋放之電磁波到達地球時，在地球上的觀測者所測得的波長小於 $h c / (E_{n} - E_{m})$
(E) 甲、乙星系上的氫原子電子躍遷所釋放之電磁波到達地球時，在地球上的觀測者所測得來自甲星系電磁波的頻率小於來自乙星系電磁波的頻率

答案：ABE
層次：知識
難度：易
章節：近代物理、宇宙學
詳解：
A對，依據哈伯定律天體退行速率 $v$ 與天體和地球間的距離 $d$ 成正比， $v = H_{0} d$ ，因此甲星系與地球的距離大於乙星系與地球的距離。
B對，電磁波在真空中以光速 $c$ 傳播。
C錯，若星系不動，則發出的電磁波頻率

、

波長

但是甲星系正在遠離地球，會有紅移的現象，使地球上的觀察者測得的頻率降低、波長變長。
D錯，原因同上。
E對，當波源遠離速率越大，頻率降低的效果越明顯。

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