阿甘

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一. 填充題：（第 1~23 格，每格 3 分 ; 第 24~26 格，每格 2 分，共 75 分）
1. 有等長三繩 A、B、C 如下圖連接，繩長皆為 L，各繩對應角度分別為 θA、θB、θC。今在連接點 O 震動使同時產生三個脈衝波，分別經 A、B、C 繩傳遞，各脈衝波經壁面反射後，分別在 B 繩上距 O 點 x 處與 C 繩上距離 O 點y 處各發生兩脈衝相遇的事件。當𝜃𝐴 = 𝜃𝐵 = 𝜃𝐶 = 120°時，則脈衝在 A、B、C 繩的速度比 （1） 。

2. 如圖所示，均勻直角 L 型細桿的水平桿長為 L、質量為 m，鉛直桿長為 2L、質量為 2m，細桿彎角處有一固定軸 O 使其可以無摩擦轉動，水平桿一端與彈力常數 k 之彈簧相連。若平衡時水平桿呈水平狀態，重力加速度為 g，細桿微小擺動時的週期為 （2） 。

3. 已知重力加速度量值為 10 公尺/秒 2。一長 L=2 公尺之 U 形凹槽置於光滑水平桌面上，凹槽內左邊另放有一小木塊，如圖所示。設小木塊質量為 1 公斤，凹槽質量為 3 公斤，小木塊與凹槽間動摩擦係數為 0.2，小木塊寬度遠小於 L。若快速撥動小木塊一下，使其開始在凹槽中滑動，且來回正向彈性碰撞凹槽邊，碰撞 10 次後停止在凹槽中央位置，則此時凹槽速率為 （3） 公尺/秒 。

4. 如圖所示，其中繩子不可伸長，繩和滑輪的質量不計，摩擦不計，重物 A 和 B 的質量分別為 1 公斤和 3 公斤，求當左邊繩的上端靠天花板處剪斷後，重物 B 的加速度大小為 （4） （重力加速度大小為 g）。

5. 如附圖所示，物體從 A 點由靜止開始沿曲面下滑，滑到 B 點速度恰好等於零，如果物體從 B 點以速度 v 沿曲面滑下，到達 A 點時速度又恰好等於零，重力加速度為 g，則 A、B 兩點的高度差為 (5) 。

6. 如圖所示，考慮有一聲源 S 與觀察者 O，其相對於空氣的速度量值分別為 Vs 與Vo，方向分別與 SO 連線的夾角為 θs 與 θo。設聲音在空氣中的速率為 V，聲源S 發出的頻率為𝑓，則觀察者 O 聽到的頻率𝑓′為 （6） 。

7. 空間中有兩平行金屬板，間距為 s，由同一電源通以反向的電流 I，如圖示。上板電流沿+x 方向，下板電流沿-x 方向。平行板長度為ℓ，寬度為 w，且s<< ℓ、s<<w。設 μ0 為真空磁化率。若在電流 I 保持固定的情況下，上板於△t 時間內在 z 方向等速移動了△s 的微小距離，試求電流源所提供的總能量為 （7） 。

8. 如下圖，水平面上有一正方木塊，它的重量是 W，地面接觸面的摩擦係數為 𝜇，左上角繫一個彈力常數為 k 的水
平彈簧，一開始保持原長，此時彈簧的彈力為零，現在在木塊一半高度的地方施一水平變力 F，讓木塊以等速 v 向
右前進，當木塊開始轉動時，經過時間為 （8） 。


9. 一曲率半徑為 R 的平凸透鏡面置於一玻璃平板上，如圖所示。今從上方以一單色光照射，可以觀察到圓環狀明暗相間的干涉條紋。若從中心往外數第三亮紋的半徑為 r，今天將透鏡與平板間充填折射率為 n 的液體，則第三亮紋的半徑變為 （9） 。

10. 如圖，在一水平的光滑軌道上，放置一質量為 m 的金屬桿 𝑎𝑏̅̅̅，導軌間距為 L，另一端連結電阻 R，其餘部分電阻不計。整個裝置放在一均勻磁場 B 中，磁場方向垂直向下。今給金屬桿一水平向右的初速度 V0，然後任其運動，若導軌足夠長，則金屬桿在導軌上向右移動的最大距離為 （10） 。

11. 一汽缸由絕熱材料製成，最上方有一可自由移動的隔板 A，其質量可以忽略，汽缸外維持為 100 kPa，內部有一隔板 B 將汽缸分成上下體積相同的兩氣室，兩氣室中皆裝有相同莫耳數的單原子理想氣體，下氣室中有一加熱用之電阻絲 C，電阻絲加熱時可提供功率 10 瓦特的熱量。若隔板固定且為熱的良導體，則開始加熱 6 分鐘後，上氣室體積增加 （11） 公升。

12. 有一透鏡，其折射率具梯度變化。如圖，透鏡厚度為 t，n(r)代表折射率距中心點位置 r 的函數，中心點折射率
n(0)=nmax為極大值，越往兩側折射率越小。求此透鏡的焦距 f 為 （12） 。(假設 f >> r)


13. 如圖，𝑎𝑏̅̅̅是半徑為 R 的圓的一條直徑，該圓處於均勻電場中，電場強度為 E，在圓周平面內，將一帶正電 q 的小球從 a 點以動能相同、但方向不同拋出，小球會經過圓周上不同的點，在這些點中，到達 c 點時小球動能最大。已知∠cab = 30∘，在不計重力與空氣阻力的情況下，求
(1)電場方向與直徑𝑎𝑏̅̅̅間的夾角 θ 為 （13） 。
(2)若小求在 a 點時，初速度方向與電場垂直，小球恰好能落在 c 點，則初動能為 （14） 。

14. 如圖，一質量為 m、半徑為 R 之金屬環在 45°的斜邊上朝斜下方做純滾動。如果金屬環與斜邊之間的靜摩擦係數為 0.25，若重力加速度為 g，斜邊以等加速度 a 向右加速，如果要維持純滾動的前提下，請問 a 的最小值為 （15） 。

15. 有一均勻帶正電量 Q 的實心非導體球，半徑為 4R。若在離球心 O 鉛直正下方 2R 處，挖一半徑為 R 的球，且在中空球頂懸掛一單擺，擺長為 L，擺錘質量為 m，帶正電 q，大小可忽略。如圖示。若重力加速度為 g。此單擺作小角度擺動週期為 （16） 。(k ≡1/4𝜋𝜀，答案請以 k 表示)

16. 一個靜止的圓錐體豎直放置，頂角為 α，質量為 m，均勻的鏈條環水平地套在圓錐體上，如圖所示，忽略鏈條與
圓錐面之間的摩擦力，求鏈條環的張力為 （17） 。

17. 如圖所示，一個細線構成的鋼性圓形軌道，其半徑為 R，軌道水平放置，圓心在 O 點。一金屬小珠 P 穿在此軌道上，可沿軌道無摩擦地自由滑動，小珠 P 帶電 Q。已知在軌道平面內 A 點( 𝑂𝐴̅̅̅̅ = 𝑟 < 𝑅)放有一個電荷 q。若在𝑂𝐴̅̅̅̅連線上某一點 A1 點放置電荷 q1，當給小珠 P 一初速度後，它就沿軌道做等速圓周運動，求
(1) A1 點與 O 點的距離為 （18） 。
(2)電荷 q1 的值為 （19） 。
(以 R、r 或 q 表示)

18. 寬為 ℓ 的圓柱 U 型管，內裝有一均質液體，置於光滑的水平桌面上，U 型管繞著距左管 ℓ4 處一鉛直軸以等角速度 𝜔 逆時針旋轉，如圖所示，兩管液面高度差為 （20） 。

19. 一電路如圖，S 是一單刀雙擲開關，A1 和 A2 為兩個平行板電容器，S 擲向 a 時，A1 獲得電量為 Q，當 S 再擲向 b時，A2 獲得電量為 q。接著重複將 S 擲向 a 再向 b 的動作，經過很多次之後，A2 將獲得電量為 （21） 。

20. 如圖所示，半徑為 2R 與 R 的兩均勻圓盤，各自繞垂直於其盤面的中心軸以角速度 ω 和 4ω 轉動，且兩轉軸互相平行。已知其對中心軸的轉動慣量分別為 4I 與 I，若使兩圓盤以邊緣接觸,則兩盤邊緣因有摩擦力 f 的作用，最後達到穩定狀態。則從接觸到穩定狀態共歷時___（22） 。

21. 一雙星系統由兩個質量皆為 m 的星球繞著共同的質心轉動而構成，兩星球相距為 ℓ，且彼此間沒有其它物質存在。設軌道為正圓形，此系統的週期為𝑇0，但科學家在觀測時發現其週期與 𝑇0有差距，今假設宇宙中均勻分布著神秘的暗物質，在雙星系統內分布的暗物質造成的額外吸引力使得觀測的週期 𝑇 =10*𝑇0/11，則系統內的暗物質質量為 （23） 。(設兩星球間暗物質的分布為均勻球形)

22. 【題組】如圖所示，在電子秤上有一個裝水的容器，秤上的讀數為 500 g。已知將重量為 500 gw 的沉體甲放入該容器時恰好讓水達到滿水位，如圖(a)；又已知將重量為 300 gw 的浮體乙置入容器中也剛好讓水達到滿水位，如圖(b)。將甲和乙物體同時置入容器中，再將容器放在電子秤上秤重，如圖(c)。試回答下列問題:
圖(b)的讀數為 （24） 克。
圖(c)的讀數為 （25） 克。
圖(a)中，沉體甲與容器底部的接觸力大小為 （26） 克重

參考答案